体积渲染

以下严谨推导体积渲染公式

在场景中，光线沿$\omega$方向传播，与介质中的点$p$发生相互作用，$L_i$为入射光的辐射率，$L_o$为经作用后的辐射率。

吸收

使用$\sigma_a(p,\omega)$表示光线在$p$点处沿$\omega$方向行进单位距离后，被吸收的辐射率与入射辐射率的比值，那么仅考虑吸收的情况下，在微小距离$dt$，辐射率的变化公式为：

$$dL_{o,abso}(p,\omega)=-\sigma_{a}(p,\omega)L_{i}(p,\omega)dt$$

外散射

使用$\sigma_s(p,\omega)$表示光线在$p$点处沿$\omega$方向行进行进单位距离后，被散射到其他方向的辐射率与入射辐射率的比值，这种情况与吸收类似，那么辐射率变化公式为：

$$dL_{o,scat}(p,\omega)=-\sigma_{s}(p,\omega)L_{i}(p,\omega)dt$$

吸收与外散射都是消耗入射光的能量，那么可以将两种作用进行统一，记$\sigma_{t}(p,\omega)=\sigma_{a}(p,\omega)+\sigma_{s}(p,\omega)$，称为衰减系数

此时有：

$$dL_{o,exti}(p,\omega)=-\sigma_{t}(p,\omega)L_{i}(p,\omega)dt$$

假设移动距离为$l$，即从$p$到$p+l\omega$，解该微分方程有：

$$\ln{L_o(p+l\omega,\omega)}-\ln{L_i(p,\omega)}=-\int_{0}^{l}{\sigma_{t}(p+t\omega)dt}\\\frac{L_{o}(p+l\omega,\omega)}{L_{i}(p,\omega)}=e^{\int_{0}^{l}(\sigma_{t}(p+t\omega)dt)}$$

记透明度为$T(p\rightarrow p+l\omega)=\frac{L_{o}(p+l\omega,\omega)}{L_{i}(p,\omega)}$，那么容易得出其有以下性质：

$$T(p\rightarrow p)=1 \\T(p_0,p_2)=T(p_0,p_1)\ast T(p_1,p_2)$$

即具有单位元和传递性，同时如果介质是各向同性即$\sigma_t(p,\omega)=\sigma_t(p,-\omega)$，有

$$T(p_0,p_1)=T(p_1,p_0)$$

即反身性，在单位距离内，通常假设\sigma_t为常数，此时

$$T(p_0,p_1)=e^{-\sigma_t\vert\vert p_0-p_1\vert\vert}$$

在实际渲染中，传递性代表了光线经过多个介质时，可以依次计算其衰减量，反身性代表了可以从摄像机处反向计算光照

以上公式被称为为朗博-比尔定律

发射

假设点$p$处沿$\omega$方向微小距离$dt$内产生的辐射率为$L_e(p,\omega)$，发射的公式为：

$$dL_o(p,\omega)=L_e({p,\omega})dt$$

内散射

散射会对四周所有方向产生光线，假设入射光辐射率为单位1，则所有散射光的方向与辐射率形成一种分布，称该分布为相位函数，$p(p,\omega_i,\omega_o)$表示在点$p$处，入射光为$\omega_i$方向，出射光为$\omega_o$时，散射光与入射光辐射率的比值，即

$$p(p,\omega_i,\omega_o)=\frac{L_{i}(p,\omega_i)}{L_o(p,\omega_o)}$$

显然，相位函数满足：

$$\int_{sphere}{p(p,\omega_i,\omega_o)d\omega_o}=1$$

同时散射光沿$\omega$方向也将遵循朗博-比尔定律，由于是从其余方向散射而来，并不受吸收作用影响，那么在点p处沿$\omega$方向微小距离$dt$内辐射率的增加量为：

$$L_s(p,\omega)=L_e(p,\omega)+\int_{sphere}{p(p,\omega_i,\omega)\sigma_s(p,\omega)L_i(p,\omega_i)d\omega_i}$$

称$L_s(p,\omega)$为源项

传输方程

综合考虑衰减和源项后，有

$$\frac{dL_o{(p,\omega)}}{dt}=-\sigma_{t}(p,\omega)L_{i}(p,\omega)dt+L_s(p,\omega)$$

该式称为传输方程的微分积分形式，可以用于ray marching算法计算

在不考虑自发光与散射的情况下，该式退化为简单体积渲染的情况，即朗博-比尔定律